Un espacio para la reflexión sobre la Ciencia y sus Alrededores
RSS feed
  • Números

    (1)
    Enviado el Octubre 2nd, 2014AdministradorGeneral

    Law-of-Large-Numbers

    Que a un matemático le gusten los números no debe sorprender a nadie. Es cierto, me gustan. Pero no a la manera pseudo-masoquista de disfrutar haciendo cuentas, en las que soy un negado sino, cómo no, disfrutando de la belleza de sus propiedades.
    Los números son, a mi juicio, una de las muestras más evidentes de cómo las matemáticas son una ciencia al servicio del hombre (y no al revés). A lo largo de la historia han sido creados en muy distintos momentos para dar respuesta a los problemas del día a día que surgían conforme las sociedades humanas evolucionaban. Y no todas lo hicieron de la misma forma.

    Todo debió empezar con los números naturales, ya saben, el 1, el 2, el 3, … Dicen que tenemos un sistema numérico de 10 dígitos porque, como los niños que empiezan a contar, lo hacíamos con los dedos de las manos. De hecho, hay vestigios que prueban que pueblos en Sudamérica tenían sistemas de 20 dígitos porque usaban también los dedos de los pies. Se sabe también de sistemas algo más primitivos, como el de una tribu perdida del Amazonas, que utilizaba un sistema con tres “dígitos”: el “uno”, el “dos” y el “muchos”. No sé si tenían operación suma, pero imagino que “uno” + “uno” = “dos”, pero “dos” + “uno” = “muchos”.

    El desarrollo del comercio debió traer de regalo el siguiente paso, los números enteros, o sea, los números naturales con un signo positivo cuando el saldo de la cuenta con el comerciante era a nuestro favor y con un signo negativo cuando por desgracia indica que era en nuestra contra. ¿Y el cero? Pues la idea de agregar un dígito para él fue clave en el desarrollo de la aritmética, ya que, en principio, no veían la necesidad de establecer un número que representara “nada”.

    El paso a los números racionales también debió ser un proceso más o menos natural. Al fin y al cabo, no supone un esfuerzo conceptual importante el imaginar “a/b” como “a” partes de entre “b”, aunque de ahí al desarrollo de un álgebra de fracciones sí debió de haber un proceso complejo. Durante siglos nuestras sociedades creyeron que con los números racionales habíamos alcanzado todo lo necesario para describir el mundo en el que vivimos. Aún ahora, posiblemente muchas personas piensan que con los dígitos del 0 al 9 somos capaces de representar cualquier cantidad, ¿no creen? Y sin embargo, no es así.

    De cualquier forma, el conjunto de los números racionales es ya una estructura bastante compleja. Además, podemos empezar ya a jugar a matemáticas algo menos triviales. Por ejemplo, ¿qué hay más, números naturales o números racionales? Estoy de acuerdo en que de ambos el número es “infinito”, pero en matemáticas existe otra manera de “contar”, de ver si un conjunto es más grande que otro: consiste en emparejar elementos, de tal manera que si me sobran elementos de un conjunto cuando ya he emparejado todos los del otro, el primero es más “grande”. Entonces, ¿no creen que el conjunto de los racionales es más “grande” que el de los naturales? Pues, ¡sorpresa!, no es así, sino que puede establecerse una correspondencia biunívoca entre números naturales y racionales. Además, aunque los números naturales son infinitos, puesto que, al menos, se puede intentar contarlos, se denominan “numerables”, y ya que los racionales tienen una correspondencia biunívoca con los naturales, también son un conjunto numerable.

    Triang-R[1]Pero volvamos a la historia de los números. Estábamos con que los racionales nos permiten escribir cualquier cantidad que nos rodea… ¿o no? Los griegos, quienes en su momento fueron la avanzadilla del desarrollo de las matemáticas, estuvieron durante siglos convencidos de que era así. Se hicieron expertos en encontrar una fracción capaz de representar cualquier cantidad que se les presentara, lo que en nuestro lenguaje de hoy significa que eran capaces de utilizar números naturales, enteros y decimales con un número finito de decimales o decimales con infinitos decimales periódicos, del tipo 2,33333333… Seguro que alguien ha pensado, ¿es que hay más números? ¿Con esos no tenemos bastantes? Ya digo que eso creyeron durante mucho tiempo los griegos. Pero empezaron a encontrar problemillas como el de encontrar el número racional que represente la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos midan 1 unidad (es uno de los triángulos más sencillos que podemos imaginar), o el número racional que represente la longitud de una circunferencia de radio 1 unidad.

    Y esos problemillas (muy relacionados, por cierto, con el conocido como “cuadratura del círculo”) simplemente no tienen solución: una de las demostraciones más bellas que recuerdo en la carrera fue la de que la raíz cuadrada de dos, que según el teorema de Pitágoras, es la longitud de la hipotenusa del triángulo rectángulo de catetos la unidad, no era un número racional. Tampoco lo es el número pi, relacionado con la longitud de la circunferencia. Entonces, ¿qué son? Bueno, como no son “racionales”, pues decidieron llamarlos “irracionales”. Y esa forma de llamarlos a mí me encanta, porque tiene un doble significado: los “racionales” lo son porque son “razones”, es decir, cocientes del tipo “a/b”, pero también porque se someten a la razón, porque los entiendo, porque caben en mi mente. Sin embargo, los “irracionales” lo son en primer lugar porque no son “racionales”, pero también porque simplemente, se escapan de nuestro entendimiento. ¿No me creen? Pues no sé si han caído en que el número pi o cualquier otro número irracional tienen un número infinito de decimales no periódicos, lo cual implica que nunca se repiten; incluso podemos darle la vuelta al argumento y nos daremos cuenta de que existen números irracionales que contienen entre sus decimales todas las combinaciones posibles de números: el día de su cumpleaños, su DNI, la clave de su tarjeta de crédito… todo entre los decimales de un número irracional.

    La unión de los números irracionales con los racionales es el conjunto llamado de los números “reales”, que es una de las estructuras matemáticas más bellas que conozco. En ella los números racionales siguen jugando un papel fundamental, porque, como intuían los griegos, con los números racionales nos podemos aproximar con toda la precisión que queramos a cualquier número real, aunque sin alcanzarlo: se dice por ello que los racionales son un conjunto “denso” dentro de los números reales. Pero, como he comentado, los irracionales surgieron a partir de unos cuantos ejemplos en los que los racionales se quedaban cortos. La pregunta es, ¿hay muchos irracionales de esos? Recuerden que hemos comentado que, aunque parezca que hay muchos racionales, no hay más que naturales. Pues otra de las sorpresas es que sí, que hay muchos, muchos, muchísimos números irracionales como pi, la raíz de dos, etc., tantos que no pueden ponerse en correspondencia con los naturales o los racionales. Se llaman, por ello, “no numerables”.

    Para terminar, un último desafío a nuestra mente acomodaticia: que hay muchos números reales parece evidente, pero alcanzar a entender cuántos son no es tan fácil. ¿Me creerían si les digo que hay tantos entre 0 y 1 como entre menos infinito y más infinito? Eso parece desafiar nuestro concepto del todo y las partes, pero ¡qué quieren que les diga!

Una respuesta to “Números”

  1. Muy instructivo. Pero por desgracia los números se asocian también a tarjetas que son “irracionales” y que su disponibilidad tiende al infinito mientras 4000 y pico criaturas, no pueden ser universitarios. ¿Como usar los números para cambiar el sistema?. Yo me apuntaria

Responder