Ejercicio – Equivalente Thevenin por superposición

Enunciado

Calcular el equivalente Thevenin del siguiente circuito en la fig. 1 (unidades en voltios y ohmios) en los terminales indicados:

Fig. 1 – Circuito del ejercicio

El circuito tiene únicamente componentes lineales, por lo que puede aplicarse el principio de superposición.

Solución aplicando el principio de superposición

El principio de superposición puede aplicarse solamente a circuitos lineales, y consiste en evaluar los efectos de cada fuente independiente y sumarlos.  Para aplicar el principio de superposición  se calcula el efecto de cada fuente independiente anulando el resto, lo que implica trabajar con varios circuitos más simples. El resultado final resulta de sumar cada uno de los resultados parciales obtenidos.

• En primer lugar, se mantendrá la fuente V1 y las demás independientes (V2) se anularán. Anular fuentes de voltaje equivale a sustituirla por un cortocircuito. El circuito resultante contiene la fuente V1 conectada a un divisor resistivo formado por la resistencia R1 en serie con la  resistencia R23=R2||R3. El voltaje en esa resistencia en paralelo es el voltaje Thevenin causado por V1:

Vth1= V1 * R23/(R1 + R23)

• Al tener otra fuente independiente se construye otro circuito en el que se anula la V1 y se mantiene la V2. El circuito resultante es otro divisor de voltaje para V2 y formado por la R2 en serie con una R13=R1||R3. El voltaje en esta resistencia es el voltaje Thevenin causado por el efecto de V2.

Vth2= V2 * R13/(R2 + R13)

• Finalmente el voltaje Thevenin buscado es la suma de ambos:

Vth= Vth1 + Vth2 = V1 * R23/(R1 + R23) + V2 * R13/(R2 + R13)

La resistencia Thevenin es simplemente la resultante de anular todas las fuentes independientes en el circuito, obteniendo:

Rth = R1||R2||R3

Solución aplicando las ecuaciones de Kirchoff

Los métodos sistemáticos de análisis por mallas o por nudos implican resolver sistemas de ecuaciones, con cálculos más prolongados que implican mayor probabilidad de error al realizarlos manualmente.

El sistema de ecuaciones se plantea mediante la aplicación de las leyes de Kirchoff para las corrientes (LCK) y los voltajes (LVK):

i3= i1 + i2

Vth= V1 ‐ Vr1
Vth= V2 ‐ Vr2
Vth=  i3R3

siendo

Vr1= i1 R1
Vr2= i2 R2

El objetivo es despejar Vth del sistema de ecuaciones. Esta solución global considera un único circuito complejo, mientras que la mediante el teorema de superposición utiliza varios circuitos parciales más simples. Recordar que solo es aplicable a circuitos lineales, o en rangos de operación lineal.

Curva de carga del diodo

El comportamiento de un dispositivo electrónico puede modelarse con una curva I-V. Esta curva describe la dependencia de la corriente que circula por dos de sus terminales y el voltaje que se les aplica. Por ejemplo, en el caso de una resistencia, esta relación describe una línea recta en el plano I-V (I= 1/R · V) y tiene nombre propio: ley de Ohm. En la fig. 1 se presentan distintos ejemplos de curvas I-V:

Fig. 1. Ejemplos de curvas I-V (De Sbyrnes321, CC0, via Wikimedia Commons, https://commons.wikimedia.org/wiki/File:FourIVcurves.svg)

En el caso de un diodo la relación es no lineal:

Id= Is *(exp(Vd/Vt) – 1)

En la que Id es la corriente que circula de ánodo a cátodo, Vd es el voltaje aplicado entre ánodo y cátodo, Is es la denominada corriente inversa de saturación y Vt es el potencial térmico. El convenio de signos empleado se muestra en la figura 2:

Fig. 2. Convenio de corriente y voltaje aplicado a los terminales del diodo

En general una curva I-V puede modelar cualquier componente o circuito entre dos de sus terminales, siempre en condiciones DC. Es decir: la curva I-V describe qué corriente DC circula por dichos terminales cuando se les aplica un voltaje DC. Sin embargo una curva I-V puede emplearse cuando el voltaje aplicado sea de baja frecuencia (es decir: siempre que puedan despreciarse efectos reactivos y capacitivos).

Fig. 3. Determinación de la relación I-V de un circuito o dispositivo

Curva IV y curva de carga

Dos circuitos interconectados mediante dos terminales comparten un mismo valor de voltaje e intercambian la misma cantidad de corriente. Esta pareja de valores define un punto en el plano I-V denominado punto de operación o punto de trabajo, y puede determinarse gráficamente a partir de las respectivas curvas de cada circuito como el punto de corte de ambas curvas definidas en ese plano I-V. Es decir: para esos valores de corriente y voltaje y ese convenio de signos.

Fig. 4. Dos bloques interconectados comparten la misma V e I

Notar que en enla figura 4, la corriente del bloque A sale del terminal (a), en lugar de entrar, y esto cambia el signo de la corriente en su curva I-V.

Ejemplo: divisor de voltaje

El circuito de la figura 5 es un divisor de voltaje. Una manera de interpretar su comportamiento consiste en aplicar el concepto de curvas I-V. Si asignamos al bloque A la fuente y la resistencia R1 y al bloque B la R2, se tienen las siguientes curvas:

Fig. 5. Circuito divisor de voltaje

Bloque A:

I= (VA – V)/R1

Notar que la curva resultante es una recta con pendiente negativa para ese convenio de signos indicado en la figura.

Bloque B:

I= V/R2

En general, se dice que este circuito carga al circuito anterior.

La resolución analítica es simple, y gráficamente representa el punto de corte de dos rectas que pasan por el origen, cuyas coordenadas (V, I) son:

V= VA·R2/(R1+R2)

I=VA/(R1 + R2)

Notar que el bloque A puede representar el equivalente Thevenin de otro circuito más complejo entre sus terminales (a) y (b). El circuito de carga podría ser otro circuito representado por su resistencia de entrada entre dos de sus terminales. En el siguiente ejemplo se utilizará un diodo.

Ejemplo: polarización del diodo

Fig. 6. Circuito para la polarización de un diodo

Cuando la carga es un diodo, las ecuaciones I-V de ambos bloques a la izquierda y a la derecha de los nodos (a) y (b) son, respectivamente:

I= (Vss – V)/R

I= Is *(exp(V/Vt) – 1)

El sistema de ecuaciones resultante es no lineal, y puede resolverse mediante herramientas de cálculo numérico, como por ejemplo las que emplean los simuladores de electrónica, o herramientas de cálculo como Matlab/Octave, o Geogebra. En la fig. 7 se representan ambas curvas, junto con las hipérbolas de máxima disipación.

Fig. 7. Curvas I-V del diodo y del circuito de polarización.

Conocida la ecuación del diodo, con Geogebra puede ajustarse el valor de R. Aunque hay muchas posibles soluciones un diseño correcto debe evitar un exceso de disipación de potencia en el diodo, por lo que el punto de operación debe ser tal que se cumpla:

Wmax > Id · Vd

En la que Wmax es la potencia máxima que puede disipar un diodo sin destruirse. Este parámetro viene indicado por los propios fabricantes, y en el plano I-V permite trazar la llamada curva de máxima disipación, en la que se alcanza el límite Wmax:

Id_max = Wmax / Vd

Estas curvas son hipérbolas con asíntotas en los ejes y delimitan la zona donde puede ajustarse gráficamente la selección del punto de operación del diodo. Además de estas curvas también podrían incluirse las correspondientes a las de máxima disipación de la resistencia. En todo caso, el punto de operación debe ser tal que no se supere la potencia máxima correspondiente a cada uno de los componentes del circuito.